สอนทำ Nelson-Siegel Fitting ใน Excel
Tutorial for Nelson-Siegel Fitting using Excel
เคยเขียนเกี่ยวกับการใช้ Nelson-Siegel สำหรับการ Fitting lifetime PD Curve เมื่อนานมาแล้ว ในตอนนั้นใช้ Python เป็นเครื่องมือในการสร้าง Curve ขึ้นมา ทั้งเขียน Optimization เอง รวมไปถึงการใช้งาน Library
แต่เนื้อหาของ Blog ตอนนี้เป็นวิธีการทำ Nelson-Siegel ด้วย Excel พร้อมทั้งบอกปัญหาที่อาจจะเกิดขึ้น เมื่อใช้ข้อมูลที่เป็น Lifetime PD มาเป็น Input ตั้งต้น
Marginal lifetime PD
ใช้เป็นข้อมูลเดิมจากตอนก่อนหน้านี้เลย แต่ค่าที่ Estimate ออกมาคงไม่เท่ากัน เพราะเนื่องจากข้อจำกัดของ Nelson-Siegel model เอง ขอ Recap สั้น ๆ เกี่ยวกับข้อมูลที่นำมาเป็น Input ใช้งาน ก่อนเริ่มเข้าวิธีการทำใน Excel
ข้อมูลที่นำมาใช้งานเป็น Marginal PD โดยที่เกิดจากผลต่างของ Cumulative PD ระหว่าง Period ไม่ว่าจะเป็นเดือนหรือปี ถ้านำค่า Cumulative PD มาลบกันจะได้สิ่งที่เรียกว่า Marginal PD จากตัวอย่างตารางด้านล่างเป็นข้อมูล Marginal PD ทั้งหมด 10 ปี ที่นำมาเป็นตัวอย่างการทำ Nelson-Siegel ใน Blog ตอนนี้
จุดสังเกตของ Marginal PD คือกราฟจะมีลักษณะเป็น Hump curve คือมีลักษณะชันขึ้นในช่วงปีแรกและค่อย ๆ ลดลงในปีถัด ๆ ไป ซึ่งลักษณะนี้เองคล้ายกับ Yield curve ที่ใช้ Nelson-Siegel formula ในการ Fitting curve ออกมา
แต่ต้อง Noted ไว้ว่าลักษณะของ Marginal PD ที่เป็น Hump curve อาจไม่ได้เป็นจริงเสมอไป โดยเฉพาะกับ Credit risk ที่มีความเสี่ยงสูง ๆ เพราะเมื่อความเสี่ยงสูงที่ปีแรก ๆ แล้ว Room to default ในปีหลัง ๆ ย่อมมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยลง
Excel
เริ่มต้นที่สูตรของ Nelson-Siegel ตามด้านบน โดยที่เขียนสูตรใน Excel และแทนค่าตามตัวแปรให้ถูกต้อง โดยที่ตัวแปรทั้งหมดมีความหมายตามด้านล่าง
- β0 คือค่าเฉลี่ยของ Marginal PD ทั้งเส้น
- β1 คือ Short-term หรือจุดที่กราฟขึ้นสู่จุด Peak
- β2 คือ Medium-term หรือจุดที่ค่อย ๆ Decay เข้าสู่ 0
- λ หรือ Lambda คือตัวแปรที่กำหนด Decay function ว่าช้าหรือเร็ว
- τ จริง ๆ แล้วคือ Time คือตัวเลขแทนจำนวนปีของ Marginal PD
โดยตัวอย่างสูตรเขียนไว้ให้ดูด้านล่าง
=$B0$+$B1$*((1-EXP(-$lambda$*time))/($lambda$*time)+$B2$*((1-EXP(-$lambda$*time))/($lambda$*time)-EXP(-$lambda$*time))ตอนนี้ยังไม่ต้องสนใจว่าตัวเลขที่จะแทนเข้ามาใน β0, β1 หรือ Parameters ต่าง ๆ ควรเป็นเลขเท่าไหร่ สามารถใส่ตัวเลขมั่ว ๆ เริ่มต้นเข้าไปได้ก่อน เมื่อผูกสูตรได้แล้วจะเห็นได้ว่าตัวเลขยังไม่มีความใกล้เคียงกับ Marginal PD เลย
จากจุดนี้ต้องใช้ Excel solver เข้ามาช่วยในการหาค่าที่เหมาะสม แต่ก่อนการใช้งาน Excel solver ต้องกำหนด Cost function เพื่อให้โปรแกรมใช้ในการ Minimise error ที่เกิดขึ้นทั้งหมดก่อน
ถ้ามีจำนวนข้อมูลเยอะ อาจใช้เป็นสูตร =SUMSQ() หรือการ Minimise ของผลรวมของค่ากำลังสองของ 2 Array แต่ในกรณีที่ไม่ได้มีข้อมูลเยอะ แนะนำให้ใช้เป็น Sum Absolute Error จะได้ผลดีมากกว่า วิธีการคือให้หาผลต่างระหว่างค่า Marginal PD และ Nelson-Siegel Estimated จากนำให้ใส่ฟังก์ชั่น =ABS() และทำการ =SUM() Error ทั้งหมดให้อยู่ใน Cell เดียว
สุดท้ายใช้เป็น Excel solver ด้วยการเปลี่ยนแปลงค่า Nelson-Siegel Parameters โดยให้ Minimise cell ผลรวมของผลต่างที่ได้ผูกสูตรไว้ก่อนหน้านี้
คำตอบที่ออกมาจะเป็นค่า Nelson-Siegel Estimated ที่มีความใกล้เคียงกับ Marginal PD (แต่อาจไม่ได้เท่ากัน 100%)
เมื่อได้ Parameters ทั้งหมดออกมาแล้ว จากเดิมที่มี Marginal PD ที่ 10 ปี สามารถใช้ Parameters ที่ Estimate ออกมาได้ ทำการ Plot marginal PD เพิ่มอีก 10 ปี รวมทั้งหมดเป็น 20 ปี เพื่อหาค่าในช่วงเวลาที่ไกลออกไป
จากรูปทั้ง In-time และ Out-of-time จะเห็นได้ว่า Nelson-Siegel Estimator พยายามเลียนแบบ Curve และ Slope ของ Marginal PD โดยมีเพียง Time ที่เป็น Input ก็สามารถสร้าง Curve ออกไปให้ไกลได้มากขึ้น
Conclusion
จบแล้วสำหรับการใช้งาน Excel เพื่อหา Parameters สำหรับ Estimate ค่าด้วย Nelson-Siegel ถือว่าเป็นวิธีที่ง่าย อาจจะง่ายกว่าการใช้ Code เพื่อสร้าง Fitting curve ออกมา และ Blog ตอนนี้ก็เป็นตอนสุดท้ายของปีนี้ 2022 นี้แล้ว อ่านมาถึงตรงนี้ขอ Happy new year ล่วงหน้าไว้เลย
